int_0^pi frac{dx}{1 - 2acos x + a^2} = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1 - 2a\cos x + a^2}$.નિત્યસમ $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 = \cos^2 \frac{x}{2} + \s

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{1 - a^2}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1 - 2a\cos x + a^2}$.નિત્યસમ $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^\pi \frac{dx}{(1+a^2)(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) - 2a(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})}$$I = \int_0^\pi \frac{dx}{(1-a)^2 \cos^2 \frac{x}{2} + (1+a)^2 \sin^2 \frac{x}{2}}$અંશ અને છેદને $\cos^2 \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:$I = \int_0^\pi \frac{\sec^2 \frac{x}{2} dx}{(1-a)^2 + (1+a)^2 	an^2 \frac{x}{2}}$ધારો કે $t = 	an \frac{x}{2}$,તેથી $dt = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx$,એટલે કે $\sec^2 \frac{x}{2} dx = 2 dt$.જ્યારે $x 	o 0, t 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \pi, t 	o \infty$.$I = \int_0^\infty \frac{2 dt}{(1-a)^2 + (1+a)^2 t^2} = \frac{2}{(1+a)^2} \int_0^\infty \frac{dt}{(\frac{1-a}{1+a})^2 + t^2}$$\int \frac{dx}{k^2 + x^2} = \frac{1}{k} 	an^{-1}(\frac{x}{k})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{2}{(1+a)^2} \cdot \frac{1+a}{1-a} [	an^{-1}(\frac{1+a}{1-a} t)]_0^\infty = \frac{2}{1-a^2} [\frac{\pi}{2} - 0] = \frac{\pi}{1-a^2}$.

$\int_0^\pi \frac{dx}{1 - 2a\cos x + a^2} = $

Similar Questions

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & x \le \pi/2 \\ \frac{b(1-\sin x)}{(\pi-2x)^2}, & x > \pi/2 \end{cases}$. જો $f$ એ $x = \pi/2$ આગળ સતત હોય, તો $\int_0^{3b-6} |x^2+2x-3| dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^1 |5x - 3| \, dx = $

$\int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx = $

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{1} e^{e^x}(1 + x e^x) dx$ ની કિંમત કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module