intlimits_0^pi {frac{{sin left( {n + frac{1}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $2\sin \frac{x}{2} \left( {\frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx} \right) = \sin \frac{x}{2} + \sum_{k=1}^n 2\sin \fr

Vedclass · Accepted Answer

$\pi $

Vedclass · Answer

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $2\sin \frac{x}{2} \left( {\frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx} \right) = \sin \frac{x}{2} + \sum_{k=1}^n 2\sin \frac{x}{2} \cos kx$. $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $2\sin \frac{x}{2} \cos kx = \sin \left( k + \frac{1}{2} \right)x - \sin \left( k - \frac{1}{2} \right)x$. $k=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો કરતા,આપણને ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી મળે છે: $\sin \frac{x}{2} + \left( \sin \frac{3x}{2} - \sin \frac{x}{2} \right) + \dots + \left( \sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x - \sin \left( n - \frac{1}{2} \right)x \right) = \sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x$. તેથી,$\frac{\sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x}{\sin \frac{x}{2}} = 1 + 2\cos x + 2\cos 2x + \dots + 2\cos nx$. હવે,$0$ થી $\pi$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_0^\pi \left( 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos kx \right) dx = \left[ x + 2\sum_{k=1}^n \frac{\sin kx}{k} \right]_0^\pi$. બધા પૂર્ણાંક $k$ માટે $\sin(k\pi) = 0$ હોવાથી,સંકલનનું મૂલ્ય $\pi - 0 = \pi$ થાય છે.

$\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right)x}}{{\sin \frac{x}{2}}}} \,dx$,$(n \in N)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin |x| \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\pi} e^{\sin^2 x} \cos^3 x \, dx$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$\int_{-\pi / 15}^{\pi / 15} \frac{\cos 5 x}{1+e^{5 x}} d x=$

$\int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module