1 + (1 + a)x + (1 + a + a^2)x^2 + dots infty | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=0}^{\infty} (1 + a + a^2 + \dots + a^n)x^n$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $(1 + a + a^2 + \dots + a^n) = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{(1 - x)(1 - ax)}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=0}^{\infty} (1 + a + a^2 + \dots + a^n)x^n$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $(1 + a + a^2 + \dots + a^n) = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}$. આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા: $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} x^n = \frac{1}{1 - a} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} a^{n+1} x^n \right]$. અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$ નો ઉપયોગ કરતા: $S = \frac{1}{1 - a} \left[ \frac{1}{1 - x} - \frac{a}{1 - ax} \right]$. સાદુરૂપ આપતા: $S = \frac{1}{1 - a} \left[ \frac{1 - ax - a + ax}{(1 - x)(1 - ax)} \right] = \frac{1}{(1 - x)(1 - ax)}$.

$1 + (1 + a)x + (1 + a + a^2)x^2 + \dots \infty = \dots \, (0 < a, x < 1)$

Similar Questions

કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \geq 1$ માટે,સરવાળો $\sum_{k=1}^n k(k+2)$ કોના બરાબર છે?

શ્રેણી $\frac{2}{1!} + \frac{7}{2!} + \frac{15}{3!} + \frac{26}{4!} + \dots$ નું $n$ મું પદ શોધો.

શ્રેણી $\frac{1^{2}}{1} + \frac{1^{2}+2^{2}}{1+2} + \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}}{1+2+3} + \ldots$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી એકસાથે બે સંખ્યાઓ લઈને તેમના તમામ ગુણાકારોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module