श्रेणी $\frac{1}{1} + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots$ का $(n + 1)$ पदों तक का योग क्या है?

$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \dots$ श्रेणी के $n$ पदों का योग क्या होगा?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{2 r}{r^4+r^2+2}\right) = $

$n = 1, 2, \ldots, 50$ के लिए,मान लीजिए $S_{n}$ उस अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग है जिसका प्रथम पद $n^{2}$ है और जिसका सार्व अनुपात $\frac{1}{(n+1)^{2}}$ है। तो $\frac{1}{26} + \sum_{n=1}^{50} \left(S_{n} + \frac{2}{n+1} - n - 1\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sum_{r=1}^{25} \left( \frac{r}{r^{4}+r^{2}+1} \right) = \frac{p}{q}$ जहाँ $p$ और $q$ धनात्मक पूर्णांक हैं और $\gcd(p,q)=1$, तो $p+q$ का मान . . . . . . है।

यदि $\sum_{r=1}^{n} T_{r} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)}{64}$ है,तो $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{1}{T_{r}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए: