यदि $a, b, c$ तीन धनात्मक संख्याएँ हैं और $abc^2$ का अधिकतम मान $1/64$ है,तो:

यदि $\sqrt{\frac{1-y}{y}}+\sqrt{\frac{y}{1-y}}=\frac{5}{2}$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ $(\beta > \alpha)$ हैं और समीकरण $(\alpha+\beta) x^4-25 \alpha \beta x^2+(\gamma+\beta-\alpha)=0$ के मूल वास्तविक हैं,तो $\gamma$ का एक संभावित मान है

मान लीजिए $f(x)=(x-a)(x-b)-\left(\frac{a+b}{2}\right)$ है। यदि $f(x)=0$ के दोनों मूल अ-ऋणात्मक (non-negative) हैं,तो $f(x)$ का न्यूनतम मान क्या है?

$f(x)$ एक द्विघात व्यंजक है,इस प्रकार कि $f(x)$ तब ऋणात्मक है जब $x \in \left(-\infty, -\frac{5}{3}\right) \cup (3, \infty)$ और धनात्मक है जब $x \in \left(-\frac{5}{3}, 3\right)$। $g(x)$ एक अन्य द्विघात व्यंजक है,इस प्रकार कि $g(x)$ तब ऋणात्मक है जब $x \in \left(3, \frac{9}{2}\right)$ और धनात्मक है जब $x \in \mathbb{R} - \left[3, \frac{9}{2}\right]$। तब,$[0, 5]$ में $f(x)g(x)$ का चिह्न क्या होगा?

यदि $m$ समीकरण $(1 - ab)x^2 - (a^2 + b^2)x - (1 + ab) = 0$ का एक मूल है और $a$ तथा $b$ के बीच $m$ हरात्मक माध्य डाले जाते हैं,तो अंतिम और पहले माध्य के बीच का अंतर क्या होगा?

$0 < c < b < a$ के लिए,मान लीजिए $(a+b-2c)x^2 + (b+c-2a)x + (c+a-2b) = 0$ है और $\alpha \neq 1$ इसका एक मूल है। तब,दो कथनों में से:
$(I)$ यदि $\alpha \in (-1, 0)$ है,तो $b$,$a$ और $c$ का गुणोत्तर माध्य नहीं हो सकता है।
$(II)$ यदि $\alpha \in (0, 1)$ है,तो $b$,$a$ और $c$ का गुणोत्तर माध्य हो सकता है।