यदि sqrt{frac{1-y}{y}}+sqrt{frac{y}{1-y}}=fra | vedclass

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Question

(A) माना $t = \sqrt{\frac{1-y}{y}}$. तब समीकरण $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ बन जाता है।$t$ के लिए हल करने पर,हमें $2t^2 - 5t + 2 = 0$ प्राप्त होता

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$\frac{1}{2}$

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(A) माना $t = \sqrt{\frac{1-y}{y}}$. तब समीकरण $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ बन जाता है।$t$ के लिए हल करने पर,हमें $2t^2 - 5t + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $t = 2$ या $t = \frac{1}{2}$ मिलता है।यदि $\sqrt{\frac{1-y}{y}} = 2$ है,तो $\frac{1-y}{y} = 4$ $\Rightarrow 1-y = 4y$ $\Rightarrow y = \frac{1}{5}$।यदि $\sqrt{\frac{1-y}{y}} = \frac{1}{2}$ है,तो $\frac{1-y}{y} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow 4-4y = y$ $\Rightarrow y = \frac{4}{5}$।अतः,$\alpha = \frac{1}{5}$ और $\beta = \frac{4}{5}$ (चूंकि $\beta > \alpha$)।तब $\alpha + \beta = 1$ और $\alpha \beta = \frac{4}{25}$।समीकरण $(\alpha+\beta) x^4 - 25 \alpha \beta x^2 + (\gamma + \beta - \alpha) = 0$ का रूप $x^4 - 4x^2 + (\gamma + \frac{3}{5}) = 0$ हो जाता है।माना $u = x^2$. तब $u^2 - 4u + (\gamma + \frac{3}{5}) = 0$।वास्तविक मूलों के लिए,$u$ का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। विविक्तकर $D = 16 - 4(\gamma + \frac{3}{5}) \ge 0$ $\Rightarrow 4 - \gamma - \frac{3}{5} \ge 0$ $\Rightarrow \gamma \le \frac{17}{5} = 3.4$।साथ ही,कम से कम एक गैर-ऋणात्मक मूल $u$ के लिए,मूलों का योग $4 > 0$ और गुणनफल $\gamma + \frac{3}{5} \ge 0 \Rightarrow \gamma \ge -0.6$ होना चाहिए।अतः,$\gamma \in [-0.6, 3.4]$। विकल्पों में से,$\frac{1}{2} = 0.5$ इस सीमा में है।

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