श्रेणी 1 + 6 + 13 + 22 + 33 + dots के n पदों | vedclass

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Question

(B) माना श्रेणी $S_n = 1 + 6 + 13 + 22 + 33 + \dots + T_n$ है। क्रमागत पदों के बीच का अंतर $5, 7, 9, 11, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है

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$\frac{n}{6}[2n^2 + 9n - 5]$

Vedclass · Answer

(B) माना श्रेणी $S_n = 1 + 6 + 13 + 22 + 33 + \dots + T_n$ है। क्रमागत पदों के बीच का अंतर $5, 7, 9, 11, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है। माना $T_n = an^2 + bn + c$ है। $n=1$ के लिए,$T_1 = a + b + c = 1$। $n=2$ के लिए,$T_2 = 4a + 2b + c = 6$। $n=3$ के लिए,$T_3 = 9a + 3b + c = 13$। समीकरणों को घटाने पर: $(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 6 - 1 \implies 3a + b = 5$। $(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 13 - 6 \implies 5a + b = 7$। इन परिणामों को घटाने पर: $(5a + b) - (3a + b) = 7 - 5 \implies 2a = 2 \implies a = 1$। $3a + b = 5$ में $a=1$ रखने पर,$3(1) + b = 5 \implies b = 2$। $a + b + c = 1$ में $a=1, b=2$ रखने पर,$1 + 2 + c = 1 \implies c = -2$। अतः,$T_n = n^2 + 2n - 2$। अब,$S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k - 2) = \sum k^2 + 2\sum k - \sum 2$। $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 2n$। $S_n = \frac{n(2n^2 + 3n + 1) + 6n(n+1) - 12n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 + 6n + 6 - 12)}{6} = \frac{n(2n^2 + 9n - 5)}{6}$।

श्रेणी $1 + 6 + 13 + 22 + 33 + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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