$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ अंकों का उपयोग करके $4$ अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि प्रत्येक अंक का उपयोग केवल एक बार किया जाए?

$a, b, c$ एक बैठक के $10$ वक्ताओं में से तीन विशेष वक्ता हैं। सभी $10$ वक्ताओं को मंच पर एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि तीनों वक्ता $a, b, c$ एक साथ न बैठें।

जब $n=9, r=5$ हो,तो $\frac{n!}{(n-r)!}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$GTWENTY$ शब्द के सभी अक्षरों को सभी संभावित तरीकों से अर्थ के साथ या बिना अर्थ के लिखा जाता है और इन शब्दों को शब्दकोश के अनुसार व्यवस्थित किया जाता है। $GTWENTY$ शब्द का क्रम संख्या क्या है?

$1$ से $10$ तक दस कुर्सियों को क्रमांकित किया गया है। तीन महिलाएं और दो पुरुष प्रत्येक एक कुर्सी पर बैठना चाहते हैं। पहले महिलाएं $1$ से $6$ तक चिह्नित कुर्सियों को चुनती हैं,फिर पुरुष शेष कुर्सियों में से चुनते हैं। संभावित तरीकों की संख्या है

$2,000$ और $5,000$ के बीच ऐसी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जो अंकों $0, 1, 2, 3, 4$ का उपयोग करके बनी हों (अंकों की पुनरावृत्ति मान्य नहीं है) और वे $3$ की गुणज हों?