महेश के $6$ मित्र हैं। वह एक या अधिक मित्रों को कितने तरीकों से भोजन के लिए आमंत्रित कर सकता है?

एक छात्र को $(2n+1)$ पुस्तकों के संग्रह से कम से कम $(n+1)$ पुस्तकें चुनने की अनुमति है,लेकिन सभी पुस्तकें नहीं। यदि इन पुस्तकों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या $255$ है,तो उस संग्रह में पुस्तकों की संख्या क्या है?

$r$ का वह मान जिसके लिए $^{15}C_{r+3} = ^{15}C_{2r-6}$ है,वह है

एक प्रश्न पत्र में दो खंड $A$ और $B$ हैं,जिसमें खंड-$A$ में $8$ प्रश्न और खंड-$B$ में $6$ प्रश्न हैं। एक छात्र को कुल $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,जिसमें खंड-$A$ से कम से कम $4$ प्रश्न और खंड-$B$ से कम से कम $3$ प्रश्न चुनने हैं। तो छात्र उस प्रश्न पत्र को कितनी तरह से हल कर सकता है?

$^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ को संतुष्ट करने वाले $r$ के मानों की संख्या है:

$UNIVERSE$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके,बिना पुनरावृत्ति के,$2$ स्वरों और $2$ व्यंजनों वाले $4$ अक्षरों के कितने शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बनाए जा सकते हैं?