यदि सदिश $a, b$ और $c$ क्रमशः त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ को दर्शाते हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $\bar{a}=\bar{i}-\bar{j}+\bar{k}, \bar{b}=\bar{i}-2\bar{j}-2\bar{k}, \bar{c}=6\bar{i}+3\bar{j}-2\bar{k}$ तीन सदिश हैं। यदि $\bar{d}$ एक ऐसा सदिश है जो $\bar{a}$ और $\bar{b}$ दोनों के लंबवत है, और $|\bar{d} \times \bar{c}|=14$ है, तो $|\bar{d} \cdot \bar{c}|=$

एक शून्येतर सदिश $\vec{a}$,$\hat{i}$ और $\hat{i} + \hat{j}$ द्वारा परिभाषित समतल तथा $\hat{i} - \hat{j}$ और $\hat{i} + \hat{k}$ द्वारा परिभाषित समतल की प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है। $\vec{a}$ और $\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

किसी भी सदिश $\vec{a} \in \mathbb{R}^3$ के लिए,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = $ . . . . . . .

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=\sqrt{3}$,$|\vec{b}|=5$,$\vec{b} \cdot \vec{c}=10$ और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है। यदि $\vec{a}$,सदिश $\vec{b} \times \vec{c}$ के लंबवत है,तो $|\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\sin \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।