વિધાન-$1$: સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એક જ સમતલમાં હોય જો અને માત્ર જો $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ હોય.
વિધાન-$2$: સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને માત્ર જો $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ હોય,જ્યાં $\vec{u} \times \vec{v}$ એ $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ના સમતલને લંબ સદિશ છે.

એક સમાંતર ષષ્ટફલક (parallelepiped) કે જેની ધાર એકમ સદિશો $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ દ્વારા દર્શાવેલ છે,જ્યાં $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = \frac{1}{2}$ હોય,તો તેનું ઘનફળ શોધો.

સદિશો $\vec{x}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{y}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{z}=3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ ધ્યાનમાં લો. બે ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ માટે,$\vec{X}=\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}-\vec{z}$,$\vec{Y}=\alpha\vec{y}+\beta\vec{z}-\vec{x}$,અને $\vec{Z}=\alpha\vec{z}+\beta\vec{x}-\vec{y}$ વ્યાખ્યાયિત કરો. જો સદિશો $\vec{X}, \vec{Y}$,અને $\vec{Z}$ એક સમતલમાં હોય,તો $\alpha+\beta-3$ ની કિંમત $....$ છે.

જો $\bar{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \bar{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+23 \hat{k}$ અને $\bar{c}=7 \hat{i}-\hat{j}+23 \hat{k}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

જો $\alpha = 2i + 3j - k$,$\beta = -i + 2j - 4k$ અને $\gamma = i + j + k$ હોય,તો $(\alpha \times \beta) \cdot (\alpha \times \gamma)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}, \overrightarrow{r}$ ને $\overrightarrow{p}=\frac{\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}, \quad \overrightarrow{q}=\frac{\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}$ અને $\overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}$ સંબંધો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે,તો $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{r}$ ની કિંમત શોધો.