k के किस न्यूनतम मान के लिए समीकरण x^2 - 8kx | vedclass

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Question

(B) माना द्विघात समीकरण $f(x) = x^2 - 8kx + 16(k^2 - k + 1) = 0$ है। मूलों के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$: $D = (-8k)^2 - 4(1)(16(

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$2$

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(B) माना द्विघात समीकरण $f(x) = x^2 - 8kx + 16(k^2 - k + 1) = 0$ है। मूलों के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$: $D = (-8k)^2 - 4(1)(16(k^2 - k + 1)) > 0$ $64k^2 - 64(k^2 - k + 1) > 0$ $64k - 64 > 0 \implies k > 1$. माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। दिया गया है कि $\alpha, \beta \ge 4$। इसका अर्थ है: $1)$ परवलय का शीर्ष $x = -b/(2a) = 4k \ge 4 \implies k \ge 1$। $2)$ $f(4) \ge 0$: $16 - 32k + 16k^2 - 16k + 16 \ge 0$ $16k^2 - 48k + 32 \ge 0$ $(k - 1)(k - 2) \ge 0$। यह $k \le 1$ या $k \ge 2$ के लिए सत्य है। $k > 1$ और $k \ge 2$ को संयोजित करने पर,हमें $k \ge 2$ प्राप्त होता है। $k$ का न्यूनतम मान $2$ है।

$k$ के किस न्यूनतम मान के लिए समीकरण $x^2 - 8kx + 16(k^2 - k + 1) = 0$ के दोनों मूल वास्तविक,भिन्न और कम से कम $4$ हैं?

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यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - 3x + a = 0, a \in R$ के मूल हैं और $\alpha < 1 < \beta$ है,तो :-

यदि $c > 0$ और समीकरण $3ax^2 + 4bx + c = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,तो :-

किस शर्त के लिए द्विघात व्यंजक $x^2 + 2bx + c$ का मान हमेशा धनात्मक होगा?

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