मान लीजिए $A, B,$ और $C$ तीन स्वतंत्र घटनाएँ हैं जैसे कि $P(A) = 1/3, P(B) = 1/2,$ और $P(C) = 1/4$ है। $3$ घटनाओं में से ठीक $2$ घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

$A, B, C$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं जहाँ $P(A) = \frac{3x+1}{3}$, $P(B) = \frac{1-x}{4}$ और $P(C) = \frac{1-2x}{2}$ है। तो $x$ के संभावित मानों का समुच्चय है:

यदि एक व्यक्ति पासा तब तक फेंकता है जब तक उसे $3$ से बड़ी संख्या न मिल जाए, तो उसके अंतिम प्रयास में $5$ प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

आकृति में $6 \times 6$ वर्ग ग्रिड पर विचार करें। मान लीजिए $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ प्रतिच्छेदन बिंदु (चित्र में बिंदु) हैं। हम कहते हैं कि $A_i$ और $A_j$ मित्र हैं यदि वे एक पंक्ति या एक स्तंभ के साथ आसन्न हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक बिंदु $A_i$ के चुने जाने की समान संभावना है।
$(1)$ मान लीजिए $p_i$ वह प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए बिंदु के $i$ मित्र हैं,$i=0, 1, 2, 3, 4$। मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जैसे कि $i=0, 1, 2, 3, 4$ के लिए,प्रायिकता $P(X=i)=p_i$ है। तो $7 E(X)$ का मान क्या है?
$(2)$ बिंदुओं $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ में से दो अलग-अलग बिंदु यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। मान लीजिए $p$ वह प्रायिकता है कि वे मित्र हैं। तो $7 p$ का मान क्या है?

चार मशीनें हैं और यह ज्ञात है कि उनमें से ठीक दो मशीनें खराब हैं। उन्हें एक-एक करके, यादृच्छिक क्रम में तब तक परखा जाता है जब तक कि दोनों खराब मशीनों की पहचान न हो जाए। तो, केवल दो परीक्षणों की आवश्यकता होने की प्रायिकता क्या है?

प्रथम $10$ अभाज्य संख्याओं के समुच्चय से सभी प्रविष्टियों वाले यादृच्छिक रूप से चुने गए $2 \times 2$ आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय (singular) होने की प्रायिकता क्या है?