प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण (varianc | vedclass

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Question

(C) प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र है: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$. प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$\sum

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$\frac{n^2 - 1}{12}$

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(C) प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र है: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$. प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$\sum x_i = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sigma^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} - \left( \frac{n(n+1)}{2n} \right)^2$. $\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$. लघुत्तम समापवर्त्य $12$ लेने पर: $\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$. $\sigma^2 = \frac{(n+1) [2(2n+1) - 3(n+1)]}{12} = \frac{(n+1)(4n+2 - 3n - 3)}{12} = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण (variance) ज्ञात कीजिए।

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