$(0, 3)$ કેન્દ્ર ધરાવતા અને ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ની નાભિઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉપવલય $9x^2 + 5y^2 - 18x - 2y - 16 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ઉપવલય $3x^2 + 5y^2 = 32$ ના બિંદુ $P(2, 2)$ આગળના સ્પર્શક અને અભિલંબ $x$-અક્ષને અનુક્રમે $Q$ અને $R$ માં મળે છે. તો ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

એક ઉપવલય એવી રીતે દોરવામાં આવે છે કે જેથી વર્તૂળ $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ નો વ્યાસ એ ગૌણ અક્ષની અર્ધલંબાઈ છે અને વર્તૂળ $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ નો વ્યાસ એ પ્રધાન અક્ષની અર્ધલંબાઈ છે. જો ઉપવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર હોય અને તેની અક્ષો યામાક્ષો હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ બે ઉપવલયો છે જેના કેન્દ્રો ઉગમબિંદુ પર છે. $E_1$ અને $E_2$ ની મુખ્ય અક્ષો અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $S$ એ વર્તુળ $x^2+(y-1)^2=2$ છે. રેખા $x+y=3$ એ વક્રો $S, E_1$ અને $E_2$ ને અનુક્રમે $P, Q$ અને $R$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. ધારો કે $PQ=PR=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$. જો $e_1$ અને $e_2$ એ અનુક્રમે $E_1$ અને $E_2$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો સાચું/સાચા વિધાન/વિધાનો કયા છે:
$(A) e_1^2+e_2^2=\frac{43}{40}$
$(B) e_1 e_2=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$
$(C) |e_1^2-e_2^2|=\frac{5}{8}$
$(D) e_1 e_2=\frac{\sqrt{3}}{4}$

જો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $5/8$ હોય અને તેના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $10$ હોય,તો તેનું નાભિલંબ શોધો.