यदि एक दीर्घवृत्त (ellipse) की नियत रेखाओं (directrices) के बीच की दूरी उसकी नाभियों (foci) के बीच की दूरी की तीन गुनी है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

एक दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसके शीर्ष $(2, -2)$ और $(2, 4)$ हैं और उत्केंद्रता $\frac{1}{3}$ है।

दो समुच्चय $A$ और $B$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$A = \{ (a,b) \in R \times R : |a - 5| < 1 \text{ और } |b - 5| < 1 \}$
$B = \{ (a,b) \in R \times R : 4(a - 6)^2 + 9(b - 5)^2 \le 36 \}$
तो:

मान लीजिए $S_{1}: x^{2}+y^{2}=9$ और $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=1$ है। तो एक चर वृत्त $S$ के केंद्र का बिंदु पथ,जो $S_{1}$ को आंतरिक रूप से और $S_{2}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,हमेशा किन बिंदुओं से होकर गुजरता है:

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ की $-\frac{4}{3}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा,दीर्घ और लघु अक्षों को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है। यदि $C$ दीर्घवृत्त का केंद्र है,तो त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल है: .............. $sq. \,units$

एक वृत्त $C$ का केंद्र दीर्घवृत्त $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ के केंद्र पर स्थित है। मान लीजिए कि $C$,$E$ की नाभियों $F_1$ और $F_2$ से होकर गुजरता है,जिससे वृत्त $C$ और दीर्घवृत्त $E$ चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए कि $P$ इन चार बिंदुओं में से एक है। यदि त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $30$ है और $E$ के दीर्घ अक्ष की लंबाई $17$ है,तो $E$ की नाभियों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: