यदि परवलय y^{2} = 4ax पर एक बिंदु से दो अभिलं | vedclass

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Question

(A) माना बिंदु $(h, k)$ है। परवलय $y^{2} = 4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^{3}$ है।चूंकि यह $(h, k)$ से गुजरता है,$k = mh - 2am - am^{3}$,

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$y^{2} = 4ax$

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(A) माना बिंदु $(h, k)$ है। परवलय $y^{2} = 4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^{3}$ है।चूंकि यह $(h, k)$ से गुजरता है,$k = mh - 2am - am^{3}$,जो $am^{3} + m(2a - h) + k = 0$ में सरल हो जाता है।माना अभिलंबों की ढाल $m_1, m_2, m_3$ है। मूलों का गुणनफल $m_1 m_2 m_3 = -k/a$ है।दिया गया है कि $m_1 = 	an \alpha$ और $m_2 = 	an \beta$,जहाँ $m_1 m_2 = 2$ है।अतः,$2 m_3 = -k/a$,यानी $m_3 = -k/(2a)$।चूंकि $m_3$ समीकरण $am^{3} + m(2a - h) + k = 0$ का एक मूल है,$m = -k/(2a)$ रखने पर:$a(-k/(2a))^{3} + (-k/(2a))(2a - h) + k = 0$$-k^{3}/(8a^{2}) - k + kh/(2a) + k = 0$$-k^{3}/(8a^{2}) + kh/(2a) = 0$$k^{2} = 4ah$।अतः,बिंदुपथ $y^{2} = 4ax$ है।

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