$\lambda$ ના કયા મૂલ્ય માટે રેખા $y = x + \lambda$ એ ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 144$ ને સ્પર્શે છે?

ધારો કે $S \equiv \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$ અને $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-1=0$ બે છેદતા ઉપવલયો છે. જો $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ અને $Q\left(a \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right), b \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right)$ તેમના છેદબિંદુઓ હોય,તો $\frac{1}{2}\left(a^2 \beta^2+b^2 \alpha^2\right)=$

ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $S(p, q)$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું એક બિંદુ છે જેથી $\frac{p^2}{9}+\frac{q^2}{4}>1$ થાય. $S$ માંથી ઉપવલય પર બે સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે,જેમાંથી એક ઉપવલયને ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુ પર મળે છે અને બીજો ઉપવલયને ચોથા ચરણમાં બિંદુ $T$ પર મળે છે. ધારો કે $R$ એ ધન $x$-યામ ધરાવતું ઉપવલયનું શિરોબિંદુ છે અને $O$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે. જો ત્રિકોણ $\triangle ORT$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{3}{2}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

જો $a$ અને $c$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને ઉપવલય $\frac{x^2}{4c^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1$ ને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9a^2$ સાથે ચાર ભિન્ન સામાન્ય બિંદુઓ હોય,તો

શંકુ આકાર $e x^2 + \pi y^2 - 2 e^2 x - 2 \pi^2 y + e^3 + \pi^3 = \pi e$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $P$ એ શંકુ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે અને $S_1, S_2$ એ શંકુના નાભિઓ છે,તો $(P S_1 + P S_2)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શું છે?

રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો અભિલંબ હોય,તો $c = $