(1, 0) और (0, 1) से गुजरने वाले और न्यूनतम सं | vedclass

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Question

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ $(i)$ है।चूंकि वृत्त $(1, 0)$ और $(0, 1)$ से गुजरता है:$(1, 0)$ के लिए: $1 + 2g + c = 0$ $(ii

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$x^2 + y^2 - x - y = 0$

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(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ $(i)$ है।चूंकि वृत्त $(1, 0)$ और $(0, 1)$ से गुजरता है:$(1, 0)$ के लिए: $1 + 2g + c = 0$ $(ii)$.$(0, 1)$ के लिए: $1 + 2f + c = 0$ $(iii)$.$(ii)$ में से $(iii)$ घटाने पर,$2g - 2f = 0$,अतः $g = f$.$f = g$ को $(ii)$ में रखने पर,$c = -(1 + 2g)$ प्राप्त होता है।त्रिज्या $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{g^2 + g^2 - (-(1 + 2g))} = \sqrt{2g^2 + 2g + 1}$.$R$ को न्यूनतम करने के लिए,$R^2 = 2g^2 + 2g + 1$ को न्यूनतम करते हैं।$g$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dg}(2g^2 + 2g + 1) = 4g + 2 = 0$,जिससे $g = -\frac{1}{2}$.चूंकि $g = f$,इसलिए $f = -\frac{1}{2}$.तब $c = -(1 + 2(-\frac{1}{2})) = -(1 - 1) = 0$.$g, f, c$ के मान $(i)$ में रखने पर,समीकरण $x^2 + y^2 - x - y = 0$ प्राप्त होता है।वैकल्पिक रूप से,दो बिंदुओं से गुजरने वाले न्यूनतम त्रिज्या वाले वृत्त के लिए वे दो बिंदु व्यास के अंतिम बिंदु होते हैं।समीकरण $(x - 1)(x - 0) + (y - 0)(y - 1) = 0$ होगा,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - x - y = 0$ हो जाता है।

$(1, 0)$ और $(0, 1)$ से गुजरने वाले और न्यूनतम संभव त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए:

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