$k$ के विभिन्न मानों के लिए रेखाओं $\sqrt{3}x - y - 4\sqrt{3}k = 0$ और $\sqrt{3}kx + yk - 4\sqrt{3} = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

यदि $PN$ आयताकार अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ पर स्थित किसी बिंदु $P$ से उसके किसी भी अनंतस्पर्शी (asymptote) पर डाला गया लंब है,तो $PN$ के मध्य बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ पर खींची गई $y - x + 5 = 0$ के समांतर स्पर्श रेखा का समीकरण है

मान लीजिए कि बिंदु $C(0,-b)$ से अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएं अतिपरवलय को बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। यदि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,तो $\frac{a^2}{b^2}$ का मान क्या होगा -

दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय (hyperbola) का समीकरण ज्ञात कीजिए: शीर्ष $(\pm 2, 0)$,नाभियाँ $(\pm 3, 0)$।

यदि वृत्त $x^2+y^2=a^2$,अतिपरवलय $xy=c^2$ को चार बिंदुओं $(x_i, y_i)$ पर प्रतिच्छेद करता है,जहाँ $i=1, 2, 3, 4$,तो $y_1+y_2+y_3+y_4$ का मान क्या होगा?