જો $P$ અને $Q$ એ વર્તુળો $x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2 = 0$ ના છેદબિંદુઓ હોય,તો $p$ ની કઈ કિંમત માટે $P, Q$ અને $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ મળે?

જો વર્તુળો $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ અને $x^2+y^2+8x-4y+11=0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

વર્તુળો ${x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7 = 0$ અને ${x^2} + {y^2} - 4x + 10y + 8 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી અને $(3, -3)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

$x^2+y^2-2x-4y-4=0$ અને $x^2+y^2-10x+12y+52=0$ વર્તુળોને લંબછેદી રીતે છેદતા સૌથી નાના વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધો.

ધારો કે $C_1$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું $1$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે. ધારો કે $C_2$ એ $A=(4,1)$ બિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું $r$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે,જ્યાં $1 < r < 3$. $C_1$ અને $C_2$ ના બે ભિન્ન સામાન્ય સ્પર્શકો $PQ$ અને $ST$ દોરવામાં આવ્યા છે. સ્પર્શક $PQ$ એ $C_1$ ને $P$ પર અને $C_2$ ને $Q$ પર સ્પર્શે છે. સ્પર્શક $ST$ એ $C_1$ ને $S$ પર અને $C_2$ ને $T$ પર સ્પર્શે છે. રેખાખંડ $PQ$ અને $ST$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડતી રેખા $x$-અક્ષને $B$ બિંદુમાં મળે છે. જો $AB=\sqrt{5}$ હોય,તો $r^2$ ની કિંમત શોધો.

જો વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 6y + a = 0$ ના પરિઘને દુભાગતું હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.