ઉપવલય $2x^2 + 5y^2 = 20$ ની જીવાનું સમીકરણ મેળવો જે બિંદુ $(2, 1)$ આગળ દ્વિભાજીત થાય છે.

વિધાન $-1$: જો એક બિંદુમાંથી ઉપવલય (ellipse) પર બે સ્પર્શકો દોરવામાં આવે અને જો તેઓ એકબીજાને લંબ હોય,તો તે બિંદુનો બિંદુપથ હંમેશા એક વર્તુળ હોય છે.
વિધાન $-2$: ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,જે બિંદુમાંથી બે લંબ સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે તેનો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.

ઉપવલય $x^2+4y^2=64$ માં અંતર્ગત મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસની બાજુઓ છે:

જો ઉપવલય $x^2+2y^2=2$ ને સ્પર્શકો દોરવામાં આવે,તો તે સ્પર્શકો દ્વારા યામ અક્ષો વચ્ચે બનતા અંતઃખંડોના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શું છે?

બિંદુઓ $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ માંથી રેખા $\frac{x}{a}\cos \theta + \frac{y}{b}\sin \theta = 1$ પર દોરેલા લંબનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

એક ઉપવલયની મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $6$ અને $2$ છે. જો તેનું કેન્દ્ર $(5,6)$ પર હોય અને મુખ્ય અક્ષ $x-y+1=0$ રેખા પર હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શું થાય?