दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ पर खींची गई लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $2x^2 + ay^2 - 8x - 2ay + (8 - a) = 0$ की उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है। यदि इस दीर्घवृत्त का मुख्य अक्ष $Y$-अक्ष के समानांतर है,तो $1$ ढाल वाले इस दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $9x^2+4y^2-18x-8y-23=0$ के नाभिलंब (latus rectum) के समीकरण हैं:

यदि $\alpha x+\beta y=109$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ की उस जीवा का समीकरण है,जिसका मध्य बिंदु $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उस दीर्घवृत्त के प्राचलिक समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके नाभियाँ $(-3, 0)$ और $(9, 0)$ हैं और उत्केन्द्रता $\frac{1}{3}$ है।

$2b$ लघु अक्ष वाले दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या होगी,यदि नाभियों को जोड़ने वाला रेखाखंड शीर्ष पर $2\alpha$ का कोण बनाता है?