रेखाओं $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \lambda$ और $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = \frac{1}{\lambda}$ (जहाँ $\lambda$ एक चर है) के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ है:

यदि $\frac{(3x - 4y - 1)^2}{100} - \frac{(4x + 3y - 1)^2}{225} = 1$ है,तो अतिपरवलय (hyperbola) के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $a$ और $b$ क्रमशः एक अतिपरवलय के अर्ध-अनुप्रस्थ और अर्ध-संयुग्मी अक्ष हैं,जिसकी उत्केंद्रता समीकरण $9e^2 - 18e + 5 = 0$ को संतुष्ट करती है। यदि $S(5, 0)$ एक नाभि है और $5x = 9$ इस अतिपरवलय की संगत नियता है,तो $a^2 - b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $P(-2 \sqrt{6}, \sqrt{3})$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ पर स्थित है,जिसकी उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है। यदि $P$ पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखा और अभिलंब इसके संयुग्मी अक्ष को क्रमशः $Q$ और $R$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो $QR$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $x = 9$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 9$ की स्पर्श-जीवा (chord of contact) है,तो संगत स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण क्या होगा?

अतिपरवलय $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x + 5y = 0$ के अनंतस्पर्शी का संयुक्त समीकरण क्या है?