अंतराल $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ में फलन $f(x) = \log(\sin x)$ के लिए लैग्रेंज के मध्यमान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार $c$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $f:[-1,1] \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो:

$a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\frac{a_{3}}{4}=0$ को संतुष्ट करने वाले $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ के सभी वास्तविक मानों के लिए, समीकरण $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}=0$ का किस अंतराल में एक वास्तविक मूल है?

फलन $f(x) = |x - 2| + |x - 5|, x \in R$ पर विचार करें।
कथन-$1$: $f'(4) = 0$.
कथन-$2$: $f$,$[2, 5]$ में सतत है,$(2, 5)$ में अवकलनीय है और $f(2) = f(5)$ है।

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $(-2, 2)$ पर दो बार अवकलनीय सम फलन हैं,इस प्रकार कि $f(\frac{1}{4}) = 0, f(\frac{1}{2}) = 0, f(1) = 1$ और $g(\frac{3}{4}) = 0, g(1) = 2$ है। तब,$(-2, 2)$ में $f(x)g''(x) + f'(x)g'(x) = 0$ के हलों की न्यूनतम संख्या क्या है?

अंतराल $[1, 2]$ में फलन $f(x)=(x-1)^3(x-2)^5$ के लिए रोले के प्रमेय का स्थिरांक $c$ क्या है?