बिंदु $(2, 0)$ से गुजरने वाले वक्र का $(x, y)$ पर ढाल $x^2 - 2x$ है। $x = 0$ पर $y$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $y\frac{dy}{dx} + x = a$ ($a$ कोई अचर है) क्या दर्शाता है?

मान लीजिए कि समय $t$ पर जीवित खरगोशों की आबादी अवकल समीकरण $\frac{dp(t)}{dt} = \frac{1}{2}p(t) - 200$ द्वारा नियंत्रित होती है। यदि $p(0) = 100$ है,तो $p(t)$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$,$x \geq 1$,जहाँ $y(1) = 0$ का हल है। यदि रेखाओं $x = 1$,$x = e^{\pi}$,$y = 0$ और वक्र $y = y(x)$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\alpha e^{2\pi} + \beta$ है,तो $10(\alpha + \beta)$ का मान ....... है।

यदि किसी वक्र पर किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{y^2-x^2}{2xy}$ है,तो बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण क्या है?

एक कल्चर में बैक्टीरिया की वृद्धि की दर उपस्थित बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती है और प्रारंभिक समय $t = 0$ पर बैक्टीरिया की संख्या $1000$ है। $2$ घंटों में बैक्टीरिया की संख्या में $20\%$ की वृद्धि होती है। यदि $\frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}$ घंटों के बाद बैक्टीरिया की जनसंख्या $2000$ है,तो $\left(\frac{k}{\log_{e} 2}\right)^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।