मान लीजिए कि फलन g: (-infty, infty) to left(- | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $g(u) = 2 	an^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$.विषम/सम की जाँच करने के लिए,$g(-u) = 2 	an^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$ लें।चूँकि $e^{-u}

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$(-\infty, \infty)$ पर विषम और निरंतर वर्धमान

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(C) दिया गया है $g(u) = 2 	an^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$.विषम/सम की जाँच करने के लिए,$g(-u) = 2 	an^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$ लें।चूँकि $e^{-u} = \frac{1}{e^u}$,हमारे पास $g(-u) = 2 	an^{-1}\left(\frac{1}{e^u}ight) - \frac{\pi}{2}$ है।सर्वसमिका $	an^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $	an^{-1}\left(\frac{1}{x}ight) = \cot^{-1}(x)$ होता है।अतः,$g(-u) = 2 \cot^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$.अब,$g(u) + g(-u) = 2(	an^{-1}(e^u) + \cot^{-1}(e^u)) - \pi = 2(\frac{\pi}{2}) - \pi = 0$.चूँकि $g(-u) = -g(u)$,फलन विषम है।एकदिष्टता की जाँच करने के लिए,अवकलज ज्ञात करें $g'(u) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.चूँकि सभी $u \in \mathbb{R}$ के लिए $e^u > 0$,इसलिए $g'(u) > 0$ है।अतः,$g(u)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान फलन है।

मान लीजिए कि फलन $g: (-\infty, \infty) \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ को $g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो $g(u)$ कैसा फलन है?

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