अंतराल $\left( -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right)$ में फलन $f(x) = -\frac{x}{2} + \sin x$ कैसा फलन है?

अंतराल $\left(\frac{1}{e}, e\right)$ में,निम्नलिखित फलनों में से एक ह्रासमान (decreasing) फलन है

सिद्ध कीजिए कि $y=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}, x>-1,$ अपने प्रांत में $x$ का एक वर्धमान फलन है।

फलन $f(x) = \tan x - 4x$ अंतराल $\rule{1cm}{0.15mm}$ पर निरंतर ह्रासमान है।

निम्नलिखित कथनों $S$ और $R$ पर विचार करें:
$S: \sin x$ और $\cos x$ दोनों अंतराल $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ में ह्रासमान (decreasing) फलन हैं।
$R:$ यदि कोई फलन $f$ अंतराल $(a, b)$ में ह्रासमान है,तो उसका अवकलज $f'(x)$ भी अंतराल $(a, b)$ में ह्रासमान होगा।
निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

दो कथनों $S_1$ और $S_2$ पर विचार करें।
$S_1$: यदि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है जिसमें $(a, b)$ में $f'(x) > 0$ है और $f(x)$,$(a, b)$ में वर्धमान है,तो $\frac{f(x)}{f'(x)}$ भी $(a, b)$ में वर्धमान है।
$S_2$: $\sin x$ और $\tan x$ दोनों $(0, \frac{\pi}{2})$ में वर्धमान फलन हैं।
निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?