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Question

(B) दिया गया समीकरण ${x^y} = {y^x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $y \ln x = x \ln y$.यह दर्शाता है कि $\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln y}{

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(B) दिया गया समीकरण ${x^y} = {y^x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $y \ln x = x \ln y$.यह दर्शाता है कि $\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln y}{y}$.माना $x/y = r$,इसलिए $x = ry$.मूल समीकरण में $x = ry$ प्रतिस्थापित करने पर: ${(ry)^y} = {y^{ry}}$.$y$-वां मूल लेने पर: $ry = y^r$,जो सरल होकर $r = y^{r-1}$ हो जाता है।अतः,$y = r^{1/(r-1)}$.तब $x = ry = r \cdot r^{1/(r-1)} = r^{r/(r-1)}$.अब व्यंजक ${(x/y)^{(x/y)}} = r^r$ पर विचार करें।हम इसे $x^{(x/y) - k} = (r^{r/(r-1)})^{(r - k)}$ के रूप में व्यक्त करना चाहते हैं।घातांकों की तुलना करने पर: $r = \frac{r}{r-1} (r - k)$.$r$ से विभाजित करने पर ($r 
eq 0$ मानते हुए): $1 = \frac{r-k}{r-1}$.$r - 1 = r - k$,जिससे $k = 1$ प्राप्त होता है।

यदि ${x^y} = {y^x}$ हो,तब ${(x/y)^{(x/y)}} = {x^{(x/y) - k}}$,जहां $k = $

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