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Question

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में एक रीमान योग है। मान

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Vedclass · Answer

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में एक रीमान योग है। मान लीजिए $f(x) = \frac{\pi}{6} \sec^2\left(\frac{\pi x}{6}ight)$ है। अभिव्यक्ति को $\sum_{r=1}^{n-1} \frac{\pi}{6n} \sec^2\left(\frac{r\pi}{6n}ight) + \frac{\pi}{6n} \cdot \frac{4}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है। जैसे $n 	o \infty$,पद $\frac{\pi}{6n} \cdot \frac{4}{3} 	o 0$ हो जाता है। अतः,सीमा $\int_{0}^{1} \frac{\pi}{6} \sec^2\left(\frac{\pi x}{6}ight) dx$ है। मान लीजिए $u = \frac{\pi x}{6}$,तो $du = \frac{\pi}{6} dx$ होगा। समाकलन $\int_{0}^{\pi/6} \sec^2(u) du = [	an(u)]_{0}^{\pi/6}$ बन जाता है। इसका मान निकालने पर,हमें $	an(\pi/6) - 	an(0) = \frac{1}{\sqrt{3}} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ प्राप्त होता है।

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निम्नलिखित कथनों में से:
$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$
$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}} =$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+1\right)(n+1)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+4\right)(n+2)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+9\right)(n+3)}+\ldots+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+n^{2}\right)(n+n)}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4)^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+8)^{3}}}+\cdots +\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{[n+4(n-1)]^{3}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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