$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक रिंग $v_0$ वेग से फिसल रही है और अचानक एक खुरदरी सतह पर प्रवेश करती है जहाँ घर्षण गुणांक $\mu$ है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। सही कथन/कथनों का चयन करें।

$R$ और $2R$ त्रिज्या और $h$ समान ऊंचाई वाले दो बेलनाकार खोखले ड्रम क्रमशः $\omega$ (वामावर्त) और $\omega$ (दक्षिणावर्त) कोणीय वेग के साथ घूम रहे हैं। उनकी धुरियाँ,जो स्थिर हैं,समानांतर हैं और एक क्षैतिज तल में $3R$ की दूरी पर स्थित हैं। अब उन्हें संपर्क में लाया जाता है।
$(a)$ संपर्क के ठीक बाद घर्षण बलों को दर्शाएं।
$(b)$ संपर्क के ठीक बाद निकाय के बाहरी बलों और टॉर्क की पहचान करें।
$(c)$ जब घर्षण समाप्त हो जाता है तो अंतिम कोणीय वेग का अनुपात क्या होगा?

$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है। इसे $t$ मोटाई की एक डिस्क में पुनर्गठित किया जाता है,जिसका उसकी परिधि से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ ही रहता है। तो,डिस्क की त्रिज्या क्या होगी?

$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान पतली बेलनाकार डिस्क को दो समान द्रव्यमान रहित स्प्रिंगों से जोड़ा गया है,जिनका स्प्रिंग नियतांक $k$ है और जो चित्र में दिखाए अनुसार दीवार से जुड़ी हैं। स्प्रिंग डिस्क की धुरी से उसके केंद्र से $d$ दूरी पर दोनों ओर सममित रूप से जुड़ी हैं। धुरी द्रव्यमान रहित है और स्प्रिंग तथा धुरी दोनों क्षैतिज तल में हैं। प्रत्येक स्प्रिंग की बिना खिंची लंबाई $L$ है। डिस्क शुरू में अपनी संतुलन स्थिति में है और उसका द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ दीवार से $L$ दूरी पर है। डिस्क $V_0 \hat{i}$ वेग के साथ बिना फिसले लुढ़कती है। घर्षण गुणांक $\mu$ है.
$1.$ जब डिस्क का द्रव्यमान केंद्र अपनी संतुलन स्थिति से $x$ विस्थापन पर होता है,तो डिस्क पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल क्या है?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ डिस्क का द्रव्यमान केंद्र किस कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ सरल आवर्त गति करता है?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ का अधिकतम मान क्या है जिसके लिए डिस्क बिना फिसले लुढ़केगी?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$

$6l$ लंबाई और $8m$ द्रव्यमान की एक समान छड़ एक चिकनी क्षैतिज मेज पर रखी है। $2v$ और $v$ की गति से एक ही क्षैतिज तल में गतिमान दो बिंदु द्रव्यमान $m$ और $2m$,छड़ से टकराते हैं (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) और टक्कर के बाद छड़ से चिपक जाते हैं। द्रव्यमान केंद्र $c$ के परितः कुल घूर्णन गतिज ऊर्जा क्या होगी?

$2 \, kg$ द्रव्यमान और $0.6 \, m$ लंबाई की एक स्टील की छड़ को एक मेज पर उसके निचले सिरे से लंबवत रूप से जड़ा गया है और यह एक ऊर्ध्वाधर तल में स्वतंत्र रूप से घूमने के लिए मुक्त है। ऊपरी सिरे को धक्का दिया जाता है ताकि छड़ गुरुत्वाकर्षण के तहत नीचे गिर जाए। निचले सिरे पर क्लैंपिंग के कारण घर्षण को नजरअंदाज करते हुए,छड़ के मुक्त सिरे की गति जब यह अपनी सबसे निचली स्थिति से गुजरती है,तो वह $\ldots \ldots \ldots \ldots \, ms^{-1}$ होगी। ($g = 10 \, ms^{-2}$ लें)