z_1 અને z_2 બે સંકર સંખ્યાઓ છે જેથી |z_1 + z_ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $|z_1 + z_2| = 1$ અને $|z_1^2 + z_2^2| = 25$.આપણે જાણીએ છીએ કે $z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)(z_1^2 - z_1z_2 + z_2^2)$.વળી,$(z_1 + z_2)^2

Vedclass · Accepted Answer

$37$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $|z_1 + z_2| = 1$ અને $|z_1^2 + z_2^2| = 25$.આપણે જાણીએ છીએ કે $z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)(z_1^2 - z_1z_2 + z_2^2)$.વળી,$(z_1 + z_2)^2 = z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2$,તેથી $z_1z_2 = \frac{1}{2}((z_1 + z_2)^2 - (z_1^2 + z_2^2))$.આ કિંમત $z_1^3 + z_2^3$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:$z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)(\frac{3}{2}(z_1^2 + z_2^2) - \frac{1}{2}(z_1 + z_2)^2)$.બંને બાજુ માનાંક લેતા:$|z_1^3 + z_2^3| = |z_1 + z_2| \cdot |\frac{3}{2}(z_1^2 + z_2^2) - \frac{1}{2}(z_1 + z_2)^2|$.ત્રિકોણ અસમતા $|a - b| \ge ||a| - |b||$ નો ઉપયોગ કરતા:$|z_1^3 + z_2^3| \ge |z_1 + z_2| \cdot |\frac{3}{2}|z_1^2 + z_2^2| - \frac{1}{2}|z_1 + z_2|^2|$.આપેલ કિંમતો $|z_1 + z_2| = 1$ અને $|z_1^2 + z_2^2| = 25$ મૂકતા:$|z_1^3 + z_2^3| \ge 1 \cdot |\frac{3}{2}(25) - \frac{1}{2}(1)^2| = |37.5 - 0.5| = 37$.

$z_1$ અને $z_2$ બે સંકર સંખ્યાઓ છે જેથી $|z_1 + z_2| = 1$ અને $|z_1^2 + z_2^2| = 25$ થાય,તો $|z_1^3 + z_2^3|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $z, w \in \mathbb{C}$ એ $z^2 + \bar{w} = z$ અને $w^2 + \bar{z} = w$ નું સમાધાન કરે છે,તો સંકર સંખ્યાઓની ક્રમિત જોડીઓ $(z, w)$ ની સંખ્યા કેટલી થાય?

જો $a, b \in \mathbb{R}$ અને $i=\sqrt{-1}$ હોય,તો $(a+bi)^3 = a-bi$ શરતનું પાલન કરતી વાસ્તવિક સંખ્યાઓની ક્રમયુક્ત જોડી $(a, b)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $S = \{z \in \mathbb{C} : \bar{z} = i(z^2 + \operatorname{Re}(\bar{z}))\}$. તો $\sum_{z \in S} |z|^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $x = -5 + 2 \sqrt{-4}$ હોય,તો $x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module