$X, Y, Z$ क्रमशः $10^{60}, 20^{50}$ और $30^{40}$ के सभी धनात्मक भाजकों के समुच्चय हैं। $n(X \cup Y \cup Z)$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \{1, 6, 11, 16, \dots\}$ और $B = \{9, 16, 23, 30, \dots\}$ दो समांतर श्रेणियों के पहले $2025$ पदों से बने समुच्चय हैं। तो $n(A \cup B)$ क्या है?

एक उच्चतर माध्यमिक विद्यालय के $220$ छात्रों के सर्वेक्षण में,यह पाया गया कि कम से कम $125$ और अधिक से अधिक $130$ छात्र गणित का अध्ययन करते हैं; कम से कम $85$ और अधिक से अधिक $95$ भौतिकी का अध्ययन करते हैं; कम से कम $75$ और अधिक से अधिक $90$ रसायन विज्ञान का अध्ययन करते हैं; $30$ भौतिकी और रसायन विज्ञान दोनों का अध्ययन करते हैं; $50$ रसायन विज्ञान और गणित दोनों का अध्ययन करते हैं; $40$ गणित और भौतिकी दोनों का अध्ययन करते हैं और $10$ ने इनमें से किसी भी विषय का अध्ययन नहीं किया। मान लीजिए कि $m$ और $n$ क्रमशः उन छात्रों की न्यूनतम और अधिकतम संख्या है जिन्होंने तीनों विषयों का अध्ययन किया है। तो $m+n$ बराबर है .............................

$400$ लोगों के समूह में,$250$ लोग हिंदी बोल सकते हैं और $200$ लोग अंग्रेजी बोल सकते हैं। कितने लोग हिंदी और अंग्रेजी दोनों बोल सकते हैं?

मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9\}$ है। तो समुच्चय $T = \{A \subseteq S : A \neq \phi \text{ और } A \text{ के सभी अवयवों का योग } 3 \text{ का गुणज नहीं है}\}$ में अवयवों की संख्या ..... है।

समुच्चय $\{n \in \{1, 2, 3, \ldots, 100\} \mid (11)^{n} > (10)^{n} + (9)^{n}\}$ में अवयवों की संख्या $.....$ है।