intlimits_0^infty {frac{{{x^3}}}{{1 + x + 2{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_0^\infty  {\frac{{{x^3}}}{{1 + x + 2{x^2} + 2{x^3} + {x^4} + {x^5}}}} dx$. છેદના અવયવ પાડતા: $1 + x + 2x^2 + 2x^3 + x^4 + x^5 =

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{\pi  - 1}}{4}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_0^\infty  {\frac{{{x^3}}}{{1 + x + 2{x^2} + 2{x^3} + {x^4} + {x^5}}}} dx$. છેદના અવયવ પાડતા: $1 + x + 2x^2 + 2x^3 + x^4 + x^5 = (1+x)(1+x^2)^2$. તેથી,$I = \int_0^\infty  {\frac{{{x^3}}}{{(1 + x){{(1 + {x^2})}^2}}}} dx$. $x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 	heta d	heta$. જ્યારે $x 	o 0, 	heta 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \infty, 	heta 	o \frac{\pi}{2}$. $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{	an^3 	heta \sec^2 	heta}{(1 + 	an 	heta) \sec^4 	heta} d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 	heta}{\cos 	heta + \sin 	heta} d	heta$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 	heta}{\cos 	heta + \sin 	heta} d	heta$. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 	heta + \cos^3 	heta}{\sin 	heta + \cos 	heta} d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 	heta + \cos^2 	heta - \sin 	heta \cos 	heta) d	heta$. $2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \frac{1}{2} \sin 2	heta) d	heta = [	heta + \frac{1}{4} \cos 2	heta]_0^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}) - (0 + \frac{1}{4}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\pi - 1}{2}$. તેથી,$I = \frac{\pi - 1}{4}$.

$\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^3}}}{{1 + x + 2{x^2} + 2{x^3} + {x^4} + {x^5}}}} dx$

Similar Questions

જો $\int_0^1 {{e^{{x^2}}}(x - \alpha )\,dx = 0,} $ હોય,તો

જો $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ હોય,તો $\int_{-\infty}^{\infty} f\left(x - \frac{1}{x}\right) dx$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$\int_0^{\pi /2} \frac{\sin x}{x} \, dx$ અને $\frac{\pi}{2}$ માંથી મોટી કિંમત કઈ છે?

જો $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$ અને $\int_2^4 (3 - f(x)) dx = 7$ હોય,તો $\int_{-1}^2 f(x) dx = $

$\int_0^{2 \pi} \sin ^3 x \cos ^2 x \, dx = $ . . . . . . .

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module