એક વક્ર y = f(x) જે બિંદુ left(1, frac{1}{sqr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા,$y = \int -x e^{-\frac{x^2}{2}} dx$ મળે.ધારો કે $u

Vedclass · Accepted Answer

$f(x)$ એ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ સંમિત છે.

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા,$y = \int -x e^{-\frac{x^2}{2}} dx$ મળે.ધારો કે $u = -\frac{x^2}{2}$,તો $du = -x dx$ થાય.તેથી,$y = \int e^u du = e^u + C = e^{-\frac{x^2}{2}} + C.$વક્ર બિંદુ $\left(1, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{e}} = e^{-\frac{1^2}{2}} + C \implies \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{e}} + C \implies C = 0$ મળે.આમ,$f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે.આ એક યુગ્મ વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે,ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ નહીં. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.$f'(x) = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$,જે તમામ $x$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,તેથી $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે.$x  0$ અને $x > 0$ માટે $f'(x)  0$ માટે ઘટતું વિધેય છે.$f''(x) = -e^{-\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} = e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2 - 1)$ મળે. $f''(x) = 0$ લેતા $x = \pm 1$ મળે,જે બે નતિપરિવર્તન બિંદુઓ છે.

કૉલમ $I$	કૉલમ $II$
$(A)$ વિકલ સમીકરણ $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ ના શૂન્યતર ઉકેલોના પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ અંતરાલ	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ સંકલન $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ ની કિંમત ધરાવતો અંતરાલ	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ અંતરાલ જેમાં $\cos^2 x+\sin x$ ના સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓમાંથી ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ આવેલું હોય	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ અંતરાલ જેમાં $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ વધતું વિધેય છે	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

Similar Questions

$(1+xy)y \, dx + (1-xy)x \, dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\,dx + \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 1 } \right)y\,dy = 0$ ઉકેલો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module