एक फलन y = f(x) अवकल समीकरण f(x) sin 2x - cos | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) \frac{dy}{dx} = 0$ है,जहाँ $y = f(x)$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} +

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$\frac{2}{5}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $y \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) \frac{dy}{dx} = 0$ है,जहाँ $y = f(x)$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}\right) y = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}$ और $Q(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} dx}$ है।माना $u = 1 + \sin^2 x$,तो $du = \sin 2x dx$ है। अतः,$\int P(x) dx = \int \frac{du}{u} = \ln(1 + \sin^2 x)$ है।इस प्रकार,$I$.$F$. $= e^{\ln(1 + \sin^2 x)} = 1 + \sin^2 x$ है।सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y(1 + \sin^2 x) = \int \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x} \cdot (1 + \sin^2 x) dx + C = \int \cos x dx + C = \sin x + C$ है।चूँकि $f(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0(1 + 0) = \sin(0) + C$,जिसका अर्थ है कि $C = 0$ है।अतः,$f(x) = \frac{\sin x}{1 + \sin^2 x}$ है।$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sin(\pi/6)}{1 + \sin^2(\pi/6)} = \frac{1/2}{1 + (1/2)^2} = \frac{1/2}{5/4} = \frac{2}{5}$ है।

एक फलन $y = f(x)$ अवकल समीकरण $f(x) \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) f'(x) = 0$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(0) = 0$ है। तो $f(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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