एक अतिपरवलय (hyperbola),जिसकी अनुप्रस्थ अक्ष | vedclass

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Question

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ है। $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ प्राप्

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$x^2 \operatorname{cosec}^2 	heta - y^2 \sec^2 	heta = 1$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ है। $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ प्राप्त होता है। दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है। नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं। अतिपरवलय के लिए,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a_1 = 2 \sin 	heta$,अतः $a_1 = \sin 	heta$ है। चूंकि अतिपरवलय सह-नाभीय है,इसकी नाभियाँ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं,इसलिए $a_1 e_1 = 1$ है। अतः,$e_1 = \operatorname{cosec} 	heta$ है। अतिपरवलय के लिए,$b_1^2 = a_1^2 (e_1^2 - 1) = \sin^2 	heta (\operatorname{cosec}^2 	heta - 1) = \cos^2 	heta$ है। अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{\sin^2 	heta} - \frac{y^2}{\cos^2 	heta} = 1$ या $x^2 \operatorname{cosec}^2 	heta - y^2 \sec^2 	heta = 1$ है।

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