सरल रेखा $2x - y = 0$ के समानांतर एक रेखा अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ को बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श करती है। तो $x_{1}^{2} + 5y_{1}^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x + 5y = 0$ के अनंतस्पर्शी का संयुक्त समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि एक अतिपरवलय $H$ की नाभियाँ दीर्घवृत्त $E: \frac{(x-1)^2}{100}+\frac{(y-1)^2}{75}=1$ की नाभियों के संपाती हैं और अतिपरवलय $H$ की उत्केंद्रता दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता का व्युत्क्रम है। यदि $H$ के अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $\alpha$ है और इसके संयुग्मी अक्ष की लंबाई $\beta$ है,तो $3 \alpha^2+2 \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

$P$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर एक बिंदु है। $N$,$P$ से अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) पर डाले गए लंब का पाद है। $P$ पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखा अनुप्रस्थ अक्ष को $T$ पर मिलती है। यदि $O$ अतिपरवलय का केंद्र है,तो $OT \cdot ON$ का मान क्या है?

यदि आयताकार अतिपरवलय $x^2-y^2=1$ के बिंदु $P$ (जहाँ प्राचल $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$) पर अभिलंब वक्र को पुनः $Q$ (जहाँ प्राचल $\theta_2$) पर मिलता है,तो $\sec^2 \theta_2 + \tan \theta_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $(4, 6)$ से गुजरने वाले मानक अतिपरवलय (hyperbola) की उत्केंद्रता (eccentricity) $2$ है,तो $(4, 6)$ पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?