એક રેખા $A(4, -6, -2)$ અને $B(16, -2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $AB$ પરનું બિંદુ $P(a, b, c)$,જ્યાં $a, b, c$ અ-ઋણ પૂર્ણાંકો છે,તે બિંદુ $A$ થી $21$ એકમના અંતરે આવેલું છે. બિંદુઓ $P(a, b, c)$ અને $Q(4, -12, 3)$ વચ્ચેનું અંતર ........... છે.

રેખાઓ $2x = 3y = -z$ અને $6x = -y = -4z$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો છે ($^{\circ}$ માં)?

ધારો કે $(\alpha, \beta, \gamma)$ એ બિંદુ $(5, 4, 2)$ માંથી રેખા $\vec{r} = (-\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ પર દોરેલા લંબના પગના યામ છે. તો સદિશ $\alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + \gamma\hat{k}$ નો સદિશ $6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈ શોધો.

$a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ અને $b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શું છે?

બિંદુ $(1, 2, -4)$ માંથી પસાર થતી અને બે રેખાઓ $\frac{x - 8}{3} = \frac{y + 19}{-16} = \frac{z - 10}{7}$ અને $\frac{x - 15}{3} = \frac{y - 29}{8} = \frac{z - 5}{-5}$ ને લંબ હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

વિધાન $(A)$: રેખાઓ $\overline{r}=\overline{a}+t \overline{b}$ અને $\overline{r}=\overline{p}+s \overline{q}$ માટે,જો $(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q}) \neq 0$ હોય,તો બે રેખાઓ સમતલીય છે.
કારણ $(R)$: $|(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q})|$ એ રેખાઓ $\overline{r}=\overline{a}+t\bar{b}$ અને $\overline{r}=\overline{p}+s \overline{q}$ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતર કરતાં $|\bar{b} \times \bar{q}|$ ગણું છે.