एक त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु त्रिभुज की भुजाओं से $a$ और $b$ की दूरी पर है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई $(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$ है।

(N/A) माना $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $B$ समकोण है। माना $P$ कर्ण $AC$ पर एक बिंदु है,जहाँ $P$ की $AB$ से दूरी $a$ और $BC$ से दूरी $b$ है।
माना $\angle C = \theta$. तब $\angle A = 90^{\circ} - \theta$.
$P$ से $BC$ पर डाले गए लंब द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$PC = \frac{b}{\sin \theta} = b \csc \theta$ है।
$P$ से $AB$ पर डाले गए लंब द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$AP = \frac{a}{\cos \theta} = a \sec \theta$ है।
कर्ण की लंबाई $L = AC = AP + PC = a \sec \theta + b \csc \theta$ है।
न्यूनतम लंबाई ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष $L$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dL}{d\theta} = a \sec \theta \tan \theta - b \csc \theta \cot \theta$.
$\frac{dL}{d\theta} = 0$ रखने पर,हमें $a \sec \theta \tan \theta = b \csc \theta \cot \theta$ प्राप्त होता है।
$\frac{a \sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{b \cos \theta}{\sin^2 \theta} \Rightarrow \tan^3 \theta = \frac{b}{a} \Rightarrow \tan \theta = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{3}}$.
इस मान पर,$\sin \theta = \frac{b^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}$ और $\cos \theta = \frac{a^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}$ है।
इन मानों को $L = a \sec \theta + b \csc \theta$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = a \frac{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}} + b \frac{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$.
$L = (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$.
अतः,कर्ण की न्यूनतम लंबाई $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$ है।