$1.05 \; m$ લંબાઈનો એક સળિયો જેનું દળ નહિવત છે,તેને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમાન લંબાઈના સ્ટીલ (તાર $A$) અને એલ્યુમિનિયમ (તાર $B$) ના બે તાર વડે તેના છેડાઓ પર ટેકવેલો છે. તાર $A$ અને $B$ ના આડછેદના ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે $1.0 \; mm^2$ અને $2.0 \; mm^2$ છે. સ્ટીલ અને એલ્યુમિનિયમના બંને તારમાં $(a)$ સમાન પ્રતિબળ અને $(b)$ સમાન વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરવા માટે સળિયા પર કયા બિંદુએ દળ $m$ લટકાવવું જોઈએ?

(A) આપેલ છે:
સળિયાની લંબાઈ $L = 1.05 \; m$
સ્ટીલના તાર $A$ નું ક્ષેત્રફળ $(a_1)$ = $1.0 \times 10^{-6} \; m^2$
એલ્યુમિનિયમના તાર $B$ નું ક્ષેત્રફળ $(a_2)$ = $2.0 \times 10^{-6} \; m^2$
સ્ટીલ માટે યંગ મોડ્યુલસ $(Y_1)$ = $2 \times 10^{11} \; N/m^2$
એલ્યુમિનિયમ માટે યંગ મોડ્યુલસ $(Y_2)$ = $7.0 \times 10^{10} \; N/m^2$
$(a)$ સમાન પ્રતિબળ માટે:
પ્રતિબળ = $\frac{F}{a}$. જો પ્રતિબળ સમાન હોય,તો $\frac{F_1}{a_1} = \frac{F_2}{a_2} \implies \frac{F_1}{F_2} = \frac{a_1}{a_2} = 0.5$.
તાર $A$ થી $y$ અંતરે લટકાવેલા બિંદુ પર ટોર્ક લેતા:
$F_1 y = F_2 (1.05 - y) \implies \frac{F_1}{F_2} = \frac{1.05 - y}{y} = 0.5$.
$1.05 - y = 0.5y \implies 1.5y = 1.05 \implies y = 0.7 \; m$.
$(b)$ સમાન વિકૃતિ માટે:
વિકૃતિ = $\frac{\text{પ્રતિબળ}}{Y} = \frac{F}{aY}$. જો વિકૃતિ સમાન હોય,તો $\frac{F_1}{a_1 Y_1} = \frac{F_2}{a_2 Y_2}$.
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{a_1 Y_1}{a_2 Y_2} = \left(\frac{1.0}{2.0}\right) \times \left(\frac{2 \times 10^{11}}{7 \times 10^{10}}\right) = \frac{10}{7}$.
તાર $A$ થી $y_1$ અંતરે લટકાવેલા બિંદુ પર ટોર્ક લેતા:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{1.05 - y_1}{y_1} = \frac{10}{7}$.
$7(1.05 - y_1) = 10y_1 \implies 7.35 - 7y_1 = 10y_1 \implies 17y_1 = 7.35 \implies y_1 \approx 0.432 \; m$.