એક ગણમાં 2n + 1 ઘટકો છે. આ ગણના n કરતા વધારે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે ગણ $S$ માં $N = 2n + 1$ ઘટકો છે.આપણે એવા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાની છે જેમાં $n$ કરતા વધારે ઘટકો હોય,એટલે કે $(n + 1), (n + 2), \dots, (2n + 1

Vedclass · Accepted Answer

$2^{2n}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે ગણ $S$ માં $N = 2n + 1$ ઘટકો છે.આપણે એવા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાની છે જેમાં $n$ કરતા વધારે ઘટકો હોય,એટલે કે $(n + 1), (n + 2), \dots, (2n + 1)$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો.આવા ઉપગણોની સંખ્યાનો સરવાળો: $S = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1}$.દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદોને ફરીથી લખી શકીએ:$\binom{2n+1}{n+1} = \binom{2n+1}{n}$,$\binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{n-1}$,વગેરે.આમ,$S = \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n-1} + \dots + \binom{2n+1}{0}$.આપણે જાણીએ છીએ કે $m$ કદના ગણ માટે તમામ દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $2^m$ થાય છે,એટલે કે $\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$.$m = 2n + 1$ માટે,કુલ સરવાળો $\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1}$ છે.કારણ કે $\binom{2n+1}{k} = \binom{2n+1}{2n+1-k}$,સહગુણકોના પ્રથમ અડધા ભાગનો સરવાળો બીજા અડધા ભાગના સરવાળા જેટલો જ હોય છે.તેથી,$S = \frac{1}{2} 	imes 2^{2n+1} = 2^{2n}$.

એક ગણમાં $2n + 1$ ઘટકો છે. આ ગણના $n$ કરતા વધારે ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા કેટલી થાય?

Similar Questions

$A$ અને $B$ એ ગણ $S = \{1, 2, 3, 4\}$ ના બે ઉપગણો છે,જેથી $A \cup B = S$ થાય. તો $(A, B)$ ની ક્રમયુક્ત જોડોની સંખ્યા શોધો.

જો $A = \{x : x \text{ એ } 3 \text{ નો ગુણક છે}\}$ અને $B = \{x : x \text{ એ } 5 \text{ નો ગુણક છે}\}$,તો $A - B$ શું થાય? ($\bar A$ એ $A$ નો પૂરક ગણ દર્શાવે છે).

જો $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ હોય,તો $A$ ના ઉચિત ઉપગણોની સંખ્યા કેટલી થાય?

નીચેનામાંથી કયા કિસ્સામાં ગણ $A$ અને $B$ સમાન (equivalent) છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module