એક ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(1, -2)$ પર, એક નાભિ $(3, -2)$ પર અને એક શિરોબિંદુ $(5, -2)$ પર છે. તો તેના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી થાય?

ધારો કે $F$ અને $F'$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(b < 2)$ ના નાભિઓ છે અને $B$ એ ગૌણ અક્ષનું એક અંત્યબિંદુ છે. જો ત્રિકોણ $FBF'$ નું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના નાભિઓ અને ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ ને $- \frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષોને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે,તો $\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ .................. $sq. \text{ units}$ થાય ($O$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે).

એક ઉપવલય (ellipse) ની મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર અને ગૌણ અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે. જો તેના નાભિલંબની લંબાઈ તેની ગૌણ અક્ષની લંબાઈના $\frac{2}{3}$ ગણી હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

જો $P \equiv (x, y)$,$F_1 \equiv (3, 0)$,$F_2 \equiv (-3, 0)$ અને $16x^2 + 25y^2 = 400$ હોય,તો $PF_1 + PF_2$ ની કિંમત શોધો.