बर्फ का एक गोला उस क्षण मौजूद बर्फ की मात्रा के समानुपाती दर से पिघलता है। $20 \text{ मिनट}$ में आधी बर्फ पिघल जाती है। मान लीजिए $x_0$ बर्फ की प्रारंभिक मात्रा है। यदि $40 \text{ मिनट}$ बाद बची हुई बर्फ की मात्रा $Kx_0$ है,तो $K=$

यदि जनसंख्या $5 \%$ प्रति वर्ष की दर से बढ़ती है,तो जनसंख्या को दोगुना होने में लगने वाला समय $\quad$ है (दिया है $\log 2 = 0.6912$) ($\text{वर्ष}$ में)

मान लीजिए $I$ एक उपकरण का क्रय मूल्य है और $V(t)$ $t$ वर्षों तक उपयोग किए जाने के बाद उसका मूल्य है। मूल्य $V(t)$ अवकल समीकरण $\frac{dV(t)}{dt} = -k(T - t)$ द्वारा दी गई दर से घटता है,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है और $T$ उपकरण का कुल जीवनकाल वर्षों में है। तो उपकरण का स्क्रैप मूल्य $V(T)$ क्या होगा?

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} \cdot \frac{x^2+y^2-1}{2(x^2+y^2)+1} = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

एक गाँव की जनसंख्या उस समय की जनसंख्या के समानुपाती दर से बढ़ती है। $10$ वर्षों की अवधि में,जनसंख्या $20,000$ से बढ़कर $40,000$ हो गई,तो अगले $20$ वर्षों के बाद जनसंख्या क्या होगी?

एक गोलाकार गुब्बारे के आयतन के परिवर्तन की दर किसी भी क्षण उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक है। यदि प्रारंभ में इसकी त्रिज्या $3 \ cm$ है,और $2 \ \text{मिनट}$ बाद इसकी त्रिज्या $9 \ cm$ हो जाती है,तो $4 \ \text{मिनट}$ बाद गुब्बारे की त्रिज्या क्या होगी ($cm$ में)?