M मोलर द्रव्यमान वाली एक आदर्श गैस एक बहुत ऊँ | vedclass

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Question

(B) एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ और गुरुत्व केंद्र $(COG)$ एक ही बिंदु पर होते हैं।द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई $y_{	ext{c

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$\frac{RT}{Mg}$

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(B) एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ और गुरुत्व केंद्र $(COG)$ एक ही बिंदु पर होते हैं।द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई $y_{	ext{cen}}$ का सूत्र: $y_{	ext{cen}} = \frac{\int_{0}^{\infty} y \, dm}{\int_{0}^{\infty} dm} = \frac{\int_{0}^{\infty} y ho(y) \, dy}{\int_{0}^{\infty} ho(y) \, dy}$.बैरोमीटर के सूत्र के अनुसार, $y$ ऊँचाई पर गैस का घनत्व: $ho(y) = ho_{0} e^{-Mgy / RT}$.इस मान को समाकलन में रखने पर:$y_{	ext{cen}} = \frac{\int_{0}^{\infty} y e^{-Mgy / RT} \, dy}{\int_{0}^{\infty} e^{-Mgy / RT} \, dy}$.मानक समाकलन $\int_{0}^{\infty} x e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a^2}$ और $\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a}$ का उपयोग करने पर, जहाँ $a = \frac{Mg}{RT}$:$y_{	ext{cen}} = \frac{1/a^2}{1/a} = \frac{1}{a} = \frac{RT}{Mg}$.

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