अवकल समीकरण $(1 - x^2)\frac{dy}{dx} - xy = 1$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx}-\sin(2y)=x^{3}(2-x^{3})\cos^{2}y,$ $(x\ne0)$ का हल है। यदि $y(2)=0$ है, तो $\tan(y(1))$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$A$. $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating factor) $e^x$ है।
$R$. $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ का समाकलन गुणक $e^{\int P(x) dx}$ है।
तो, निम्नलिखित में से सही कथन है:

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x^{2}-1}y=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{1}{2}}$,$x>1$ का हल वक्र है जो बिंदु $\left(2, \sqrt{\frac{1}{3}}\right)$ से गुजरता है। तो $\sqrt{7}y(8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^3 - 3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है