माना y=y(x) अवकल समीकरण xfrac{dy}{dx}-sin(2y) | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x\frac{dy}{dx}-\sin(2y)=x^{3}(2-x^{3})\cos^{2}y$.$x\cos^{2}y$ से भाग देने पर: $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}-\frac{\sin(2y)}{x\cos

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$\frac{7}{4}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x\frac{dy}{dx}-\sin(2y)=x^{3}(2-x^{3})\cos^{2}y$.$x\cos^{2}y$ से भाग देने पर: $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}-\frac{\sin(2y)}{x\cos^{2}y}=x^{2}(2-x^{3})$.चूंकि $\sin(2y)=2\sin y\cos y$, समीकरण इस प्रकार होगा: $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}-\frac{2	an y}{x}=x^{2}(2-x^{3})$.माना $	an y=t$, तब $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$.यह समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है: $\frac{dt}{dx}-\frac{2}{x}t=x^{2}(2-x^{3})$.समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $I.F. = e^{\int-\frac{2}{x}dx} = e^{-2\ln x} = \frac{1}{x^{2}}$.$I$.$F$. से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(\frac{t}{x^{2}}) = 2-x^{3}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{t}{x^{2}} = \int(2-x^{3})dx = 2x-\frac{x^{4}}{4}+C$.$t=	an y$ रखने पर: $\frac{	an y}{x^{2}} = 2x-\frac{x^{4}}{4}+C$.दिया है $y(2)=0$, अतः $	an(0)=0$: $\frac{0}{4} = 2(2)-\frac{16}{4}+C \Rightarrow 0 = 4-4+C \Rightarrow C=0$.अतः, $	an y = 2x^{3}-\frac{x^{6}}{4}$.$x=1$ के लिए, $	an(y(1)) = 2(1)^{3}-\frac{1^{6}}{4} = 2-\frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx}-\sin(2y)=x^{3}(2-x^{3})\cos^{2}y,$ $(x\ne0)$ का हल है। यदि $y(2)=0$ है, तो $\tan(y(1))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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