मान लीजिए कि एक वक्र y=f(x) बिंदु (-2, 2) से | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $f(x)+x f'(x)=x^2$ है,जिसे $y+x \frac{dy}{dx}=x^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।$x$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $x 
eq 0$),

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$x^3-3x f(x)-4=0$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $f(x)+x f'(x)=x^2$ है,जिसे $y+x \frac{dy}{dx}=x^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।$x$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $x 
eq 0$),हमें $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\frac{1}{x}$ और $Q=x$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$y \cdot x = \int x \cdot x dx + C = \int x^2 dx + C = \frac{x^3}{3} + C$.चूंकि वक्र बिंदु $(-2, 2)$ से होकर गुजरता है,हम $x=-2$ और $y=2$ प्रतिस्थापित करते हैं:$2(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + C \Rightarrow -4 = -\frac{8}{3} + C$.$C = -4 + \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$.$C$ का मान समीकरण में वापस रखने पर: $xy = \frac{x^3}{3} - \frac{4}{3}$।$3$ से गुणा करने पर,हमें $3xy = x^3 - 4$ प्राप्त होता है,अर्थात $x^3 - 3x f(x) - 4 = 0$।

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