एक वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर यदि सबनॉर्मल की लंबाई $(x - 1)$ है और वक्र $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,तो वक्र एक शांकव है। वक्र का एक शीर्ष है:

दिया गया है $\frac{d^2 y}{d x^2}+\cot x \frac{d y}{d x}+4 y \operatorname{cosec}^2 x=0$. स्वतंत्र चर $x$ को $z$ में बदलने के लिए $z=\log \tan \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर, समीकरण किसमें बदल जाएगा?

मान लीजिए $f$ एक दो बार अवकलनीय अ-ऋणात्मक फलन है, इस प्रकार कि $(f(x))^2 = 25 + \int_{0}^{x} ((f(t))^2 + (f'(t))^2) dt$ है। तो $f(\log_e(1)), f(\log_e(2)), \ldots, f(\log_e(625))$ का माध्य ज्ञात कीजिए:

एक रेडियोधर्मी नमूने की अर्ध-आयु $10 \text{ दिन}$ है। यदि नमूने का मूल द्रव्यमान $1000 \text{ mg}$ है,तो $50 \text{ दिनों}$ के बाद शेष द्रव्यमान कितना होगा?

नगर $A$ और $B$ की जनसंख्या उस समय मौजूद उनकी जनसंख्या के समानुपाती दर से बढ़ती है। वर्ष $1984$ के अंत में,दोनों नगरों की जनसंख्या $20,000$ थी। वर्ष $1989$ के अंत में,नगर $A$ की जनसंख्या $25,000$ और नगर $B$ की जनसंख्या $28,000$ थी। $1994$ के अंत में नगर $A$ और $B$ की जनसंख्या का अंतर था

मान लीजिए कि $\Gamma$ एक वक्र $y = y(x)$ को दर्शाता है जो प्रथम चतुर्थांश में है और बिंदु $(1,0)$ उस पर स्थित है। मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर $\Gamma$ की स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $Y_p$ पर काटती है। यदि $\Gamma$ पर प्रत्येक बिंदु $P$ के लिए $PY_p$ की लंबाई $1$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $y=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}$
$(2)$ $xy^{\prime}+\sqrt{1-x^2}=0$
$(3)$ $y=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$
$(4)$ $xy^{\prime}-\sqrt{1-x^2}=0$