वक्र $x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0$ पर किन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएं $y$-अक्ष के समानांतर हैं?

(A) वक्र का दिया गया समीकरण: $x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2 - 4 \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(2y - 4) = 2 - 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2(1-x)}{2(y-2)} = \frac{1-x}{y-2}$
चूंकि स्पर्श रेखाएं $y$-अक्ष के समानांतर हैं,इसलिए ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित है,जिसका अर्थ है कि हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
$y = 2$ को मूल समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x^{2} + (2)^{2} - 2x - 4(2) + 1 = 0$
$x^{2} + 4 - 2x - 8 + 1 = 0$
$x^{2} - 2x - 3 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 3)(x + 1) = 0$
$x = 3$ या $x = -1$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(3, 2)$ और $(-1, 2)$ हैं।